Question

已知f（x）=xe^x，g（x）=ax²+2ax，a∈R
（1）若f（x）与g（x）在（0，0）处的切线互相垂直，求a的值；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），当1≤a≤

2

时，求y=F（|x|）在[-a，a]的最大值．

Answer 1

分析：（1）求f（x）、g（x）的导函数f′（x）、g′（x），由f（x）与g（x）在（0，0）处的切线互相垂直，得f′（0）•g′（0）=-1，求得a的值．
（2）求F（|x|）在[-a，a]的最大值，只需求F（x）在[0，a]上的最大值即可，求F（x）的导函数F'（x），利用导函数判定F（x）的增减性与最值，从而求出F（x）=的最大值F（x）_max．

解答：解：（1）∵f（x）=xe^x，g（x）=ax²+2ax，a∈R；
∴f′（x）=e^x+xe^x，g′（x）=2ax+2a；
又∵f（x）与g（x）在（0，0）处的切线互相垂直，
∴f′（0）•g′（0）=-1，即（e⁰+0×e⁰）•（2a×0+2a）=-1；
∴2a=-1，即a=-

1

2

；
∴a的值是-

1

2

．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=xe^x-（ax²+2ax），∴F'（x）=（x+1）e^x-（2ax+2a）=（x+1）（e^x-2a）；
令 h(x)=ex-2x(1≤x≤

2

)，h'（x）=e^x-2＞0，∴h（x）_min=h（1）=e-2＞0，h（x）＞0恒成立，
∴e^x＞2x，∴e^a＞2a，∴F（x）在（0，ln2a）上单调递减，在（ln2a，a）上单调递增；
又F（0）=0，F（a）=ae^a-（a³+2a²）=a（e^a-a²-2a），
令m(x)=ex-x2-2x(1≤x≤

2

)，m'（x）=e^x-2x-2，m''（x）=e^x-2＞0，
所以m′（x）在（1，

2

）上单调递增，
∴m′（x）≤m′（

2

）=e

2

-2

2

-2＜0，
所以m（x）单调递减，m（x）≤m（1）=e-4＜0，
所以F（x）_max=F（0）=0；

点评：本题考查了利用导函数研究函数在某一点处的切线方程以及函数的单调性与最值问题，是较难的题目．