Question

已知数列{a_n}满足:a₁=1,a₂=2,2a_n=a_n-1+a_n+1(n≥2,n∈N^*),数列{b_n}满足b₁=2,a_nb_n+1=2a_n+1b_n.
(1)求数列{a_n}的通项a_n;
(2)求证:数列为等比数列,并求数列{b_n}的通项公式.

Answer 1

(1) a_n= n    (2) b_n=n·2ⁿ

解析解:(1)∵2a_n=a_n-1+a_n+1,∴数列{a_n}为等差数列.
又a₁=1,a₂=2,所以d=a₂-a₁=2-1=1,
数列{a_n}的通项a_n=a₁+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.
(2)∵a_n=n,∴nb_n+1=2(n+1)b_n,∴=2·,
所以数列是以=2为首项,q=2为公比的等比数列,
∴=2×2^n-1,∴b_n=n·2ⁿ.