Question

10．若直线a，b是两条异面直线，其方向向量分别是（1，1，1）和（2，-3，-2），则直线a和b的公垂线的一个方向向量是（1，4，-5）．

Answer 1

分析 设直线a，b是两条异面直线，其方向向量分别是：$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$，直线a和b的公垂线的一个方向向量是$\overrightarrow{a}$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{m}\\ \overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{m}=0\\ \overrightarrow{a}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$，进而可得答案．

解答 解：∵直线a，b是两条异面直线，其方向向量分别是：
$\overrightarrow{m}$=（1，1，1）和$\overrightarrow{n}$=（2，-3，-2），
设直线a和b的公垂线的一个方向向量是$\overrightarrow{a}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{m}\\ \overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{m}=0\\ \overrightarrow{a}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ 2x-3y-2z=0\end{array}\right.$，
令x=1，则$\overrightarrow{a}$=（1，4，-5），
故答案为：（1，4，-5）
答案不唯一（λ，4λ，-5λ），λ≠0均满足条件．

点评 本题考查的知识点是直线的方向向量，向量垂直的充要条件，难度中档．