Question

（理）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上一点，满足

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|=2|

PF2

|．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线两渐近线交于Q，R两点，当

OQ

•

OR

=-

27

4

，2

PQ

=-

PR

时，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不妨设P为双曲线上右支一点，根据

PF1

•

PF2

=0，可得

PF1

⊥

PF2

，所以|

PF1

|2+

|PF2

|2=4c2，又因为|

PF1

|=2|

PF2

|，|

PF1

|-|

PF2

|=2a．所以|

PF2

|=2a，|

PF1

|=4a，故可求双曲线的离心率；
（Ⅱ）不妨设P为双曲线上右支一点，坐标为（x，y），（y＞0）则根据第二定义可得

2a

x- a2 c

=

c

a

，从而可求点P的坐标，进而可得b=2a，设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），根据双曲线的渐近线方程为：y=±

b

a

x=±2x，过点P作直线分别与双曲线两渐近线交于Q，R两点，利用

OQ

•

OR

=-

27

4

，可得x1x2=

9

4

，利用2

PQ

=-

PR

，可得2x1+x2=

9a

5

，2x1-x2=

6a

5

，从而可求双曲线的方程．

解答：解：（Ⅰ）不妨设P为双曲线上右支一点
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴

PF1

⊥

PF2

∴|

PF1

|2+

|PF2

|2=4c2
∵|

PF1

|=2|

PF2

|，|

PF1

|-|

PF2

|=2a．
∴|

PF2

|=2a，|

PF1

|=4a
∴4a²+16a²=4c²
∴a=

1

5

c
∴e=

c

a

=

5

∴双曲线的离心率为

5

；
（Ⅱ）不妨设P为双曲线上右支一点，坐标为（x，y），（y＞0）则根据第二定义可得

2a

x- a2 c

=

c

a

∴2a=ex-a，又双曲线的离心率为

5

；
∴x=

3a

5

代入双曲线方程可得

( 3a 5 )2

a2

-

y2

b2

=1，∴y=

2b

5

∴P(

3a

5

，

2b

5

)
∵

PF1

•

PF2

=0
∴(

3a

5

)2+(

2b

5

)2-c2=0
∴b=2a
∴P(

3a

5

，

4a

5

)
设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）
∵双曲线的渐近线方程为：y=±

b

a

x=±2x，过点P作直线分别与双曲线两渐近线交于Q，R两点
∴Q（x₁，2x₁），R（x₂，-2x₂）
∵

OQ

•

OR

=-

27

4

∴x1x2=

9

4

∵2

PQ

=-

PR

∴2(x1-

3a

5

，2x1-

4a

5

)=-(x2-

3a

5

，-2x2-

4a

5

)
∴2x1+x2=

9a

5

，2x1-x2=

6a

5

∴x1=

3 5 a

4

，x2=

3 5 a

10

∴

3 5 a

4

× 

3 5 a

10

=

9

4

∴a²=2
∴b²=8
∴双曲线的方程为

x2

2

-

y2

8

=1

点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的离心率，考查双曲线的标准方程，考查向量与解析几何的综合，解题时构建方程是关键．