Question

【题目】已知函数f（x）=a2x﹣2﹣x定义域为R的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）若不等式f（9x+1）+f（t﹣23x+5）＞0在在R上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x） 对任意x∈R恒成立，即a2﹣x﹣2x=﹣（a2x﹣2﹣x）．

即（a﹣1）（2﹣x+2x）=0，

∴a=1；

（2）解：f（x）为R上的增函数．下面证明：

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ ﹣（ ﹣ ）

=（ ﹣ ）+ =（ ﹣ ）（1+ ）

∵x1＜x2，

∴ ﹣ ＜0，1+ ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）为R上的增函数

（3）解：∵不等式f（9x+1）+f（t﹣23x+5）＞0在R上恒成立

∴f（9x+1）＞﹣f（t﹣23x+5）=f[﹣（t﹣23x+5）]=f（﹣t+23x﹣5），

∵f（x）为R上的增函数

∴9x+1＞﹣t+23x﹣5，t＞﹣9x+23x﹣6，即t＞﹣（3x﹣1）2﹣5

当3x﹣1=0，即x=0时，﹣（3x﹣1）2﹣5有最大值﹣5，

所以t＞﹣5

【解析】1、根据题意可得利用奇函数的判定即可得出a的值。
2、利用函数单调性的定义可以判断，得出f（x1）＜f（x2）。
3、结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为t＞﹣9x+23x﹣6，再利用换元法和二次函数的知识求出上式的最小值即可。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．