Question

【题目】已知函数与.

（1）若曲线与曲线恰好相切于点，求实数的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：. .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）先求出导函数 由 ，解方程可得；

（2）由 在恒成立的必要条件为得，再利用导数研究函数的单调性及最值，从而证明时，对任意 ，总有；（3）由（2）知：时，令，化简可得，再令 ，多个不等式求和，利用对数的运算法则即可的结论.

试题解析：（1）先求出导函数 由 ，解方程可得.

（2）令，则 ，在恒成立的必要条件为.即，又当时，，，令，则，即，在递减，即，在恒成立的充分条件为.综上，可得：

（3）设为的前n项和，则，要证原不等式，只需证：，由（2）知：时即：（当且仅当时取等号）.令，则，即：，即, 令 ，多个不等式求和，从而原不等式得证