分析 (1)求导数,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,可得$\frac{2}{x}$+2x-a2≤0在区间[1,2]上恒成立,分离参数求最大值,即可求a的最小值;
(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递减区间,得到关于k的不等式组,求出k的范围即可.
解答 解:(1)∵f(x)=2lnx+x2-a2x,
∴f′(x)=$\frac{2}{x}$+2x-a2,
∵函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,
∴$\frac{2}{x}$+2x-a2≤0在区间[1,2]上恒成立,
∴a2≥$\frac{2}{x}$+2x,
∵y=$\frac{2}{x}$+2x在区间[1,2]上单调递增,
∴ymax=5,∴a2≥5,
∵a>0,∴a≥$\sqrt{5}$;
(2)∵a=$\sqrt{5}$时,f(x)=2lnx+x2-5x,(x>0),
∴f′(x)=$\frac{(2x-1)(x-2)}{x}$,
令f′(x)<0,解得:$\frac{1}{2}$<x<2,
若f(x)在区间(k-$\frac{1}{2}$,k)上为单调函数,
则$\left\{\begin{array}{l}{k-\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}}\\{k≤2}\end{array}\right.$,解得0≤k≤2.
点评 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性问题,考查分离参数法的运用,属于中档题.
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