【题目】如图几何体是四棱锥,
为正三角形,
,且
.
(1)求证: 平面平面
;
(2)是棱
的中点,求证:
平面
;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)先证面
再由面面垂直的判定定理可得平面
平面
;(2)
,再由由线线平行得到线面平行可得
平面
;(3)建立空间直角坐标系, 分别算出平面
和平面
的法向量, 用空间向量数量积推论算出二面角的余弦值.
试题解析:(1)证明: 为正三角形,
故连接
交
于
点,则
,又
, 故
面
平面
平面
.
(2)证明: 取的中点
,连接
,则
,且
平面
平面
;而
,且
平面
平面
.综上所述,平面
平面
平面
.
(3)由(1)知,且
,则
是直角三角形,且
,在
中作
于
,可求得
也即
与
重合,故
;又
是
的中点,故
,故如图建立空间直角坐标系,则
.设平面
的法向量为
,则由
得
,同理得平面
的法向量
,故二面角
的平面角的余弦值为
.
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【题目】甲、乙两人练习罚球,每人练习6组,每组罚球20个,命中个数茎叶图如下:
(1)求甲命中个数的中位数和乙命中个数的众数;
(2)通过计算,比较甲乙两人的罚球水平.
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【题目】已知椭圆(
﹥
﹥0)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,坐标原点
到直线
的距离为
,求
面积的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=PB,O为AB的中点,OD⊥PC.
(1)求证:OC⊥PD;
(2)若PD与平面PAB所成的角为30°,求二面角DPCB的余弦值.
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【题目】如图,四边形是边长为4的正方形,点
为
边上任意一点(与点
不重合),连接
,过点
作
交
于点
,且
,过点
作
,交
于点
,连接
,设
.
(1)求点的坐标(用含
的代数式表示)
(2)试判断线段的长度是否随点
的位置的变化而改变?并说明理由.
(3)当为何值时,四边形
的面积最小.
(4)在轴正半轴上存在点
,使得
是等腰三角形,请直接写出不少于4个符合条件的点
的坐标(用含
的式子表示)
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【题目】吉安一中举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了解本了次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为分)作为样本(样本容量为
)进行统计. 按照
的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在
的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的
的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛学生成绩是分以上(含
分)的同学中随机抽取
名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,设
表示所抽取的
名同学中得分在
的学生人数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.且曲线
的左焦点
在直线
上.
(1)若直线与曲线
交于
两点,求
的值;
(2)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
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【题目】吉安一中举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了解本了次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为分)作为样本(样本容量为
)进行统计.按照
的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在
的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的
的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛学生成绩是分以上(含
分)的同学中随机抽取
名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的
名同学中得分在
的学生人数恰有一人的概率.
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【题目】如图,设为单位圆上逆时针均匀分布的六个点,现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形,记该三角形的面积为随机变量
.
(1)求的概率;
(2)求的分布列及数学期望
.
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