Question

已知真命题：“函数f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”．根据上述依据，写出函数g（x）=log₂

2x

4-x

 图象对称中心的坐标

 

．

Answer 1

分析：设g（x）=log₂

2x

4-x

 的对称中心为点P（a，b），则函数f（x）=g（x+a）-b=log₂

2(x+a)

4-(x+a)

-b是奇函数，利用奇函数的定义域关于原点对称，且f（-x）+f（x）=0，求出a，b的值，可得答案．

解答：解：设g（x）=log₂

2x

4-x

 的对称中心为点P（a，b）
则函数f（x）=g（x+a）-b=log₂

2(x+a)

4-(x+a)

-b是奇函数
由函数的定义域，即不等式

2(x+a)

4-(x+a)

＞0的解集关于原点对称，可得a=2
此时f（x）=log₂

2(x+2)

2-x

-b，x∈（-2，2）
由f（-x）+f（x）=log₂

2(-x+2)

2+x

+log₂

2(x+2)

2-x

-2b=2-2b=0得：b=1
故函数g（x）=log₂

2x

4-x

 的对称中心为点（2，1）
故答案为：（2，1）

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，奇函数的性质，函数图象的平移变换，难度中档．