Question

已知椭圆的中心为原点，离心率，其一个焦点在抛物线的准线上，若抛物线与直线相切．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为．若点满足：，其中是上的点，直线与的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）
（2）存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为．

试题分析：（1）根据抛物线与直线相切，联立方程组并化简， 利用，求得的值，进一步可得；
应用离心率求，得解.
（2）设，，，利用“代入法”求得的轨迹方程为：.
由及确定的坐标关系，
导出，作出判断.
试题解析：
（1）由，
抛物线与直线相切，
                     2分
抛物线的方程为：，其准线方程为：，
离心率，，
故椭圆的标准方程为                      5分
（2）设，，
则
当点在椭圆上运动时，动点的运动轨迹

的轨迹方程为：                      7分
由得

设分别为直线，的斜率，由题设条件知
因此                9分
因为点在椭圆上，
所以，
故

所以，从而可知：点是椭圆上的点，
存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为．                         13分