(本小题满分12分)
如图,直三棱柱A1B1C1—ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB.
D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.
(1)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值;
(2)在线段AC上是否存在一点F,使得EF⊥平面A1BD?
若存在,确定其位置并证明结论;若不存在,说明理由.
(Ⅰ) (Ⅱ) AC中点
法一:(1)分别延长AC,A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M,
连结BM∵BC⊥平面ACC??1A1 ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影∴BM⊥A1G
∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角 平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D为C1C的中点∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中, , 余弦值为 6分
(2)在线段AC上存在一点F,使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点,证明如下:
∵A1B1C1—ABC为直三棱柱 , ∴B1C1//BC∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA
∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ,F为AC中点 ∴C1F⊥A1D ∴EF⊥A1D同理可证EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD∵E为定点,平面A1BD为定平面,点F唯一 …………12分
解法二:(1)∵A1B1C1—ABC为直三棱住 C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立如图所示的坐标系得C(0,0,0) B(2,0,0) A(0,2,0)
C1(0,0,2) B1(2,0,2) A??1(0,2,2)D(0,0,1) E(1,0,2)
设平面A1BD的法向量为n=(1,)
平面ACC1A1??的法向量为=(1,0,0)
(2)在线段AC上存在一点F,设F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由(2)知,当且仅当//
∴存在唯一一点F(0,1,0)满足条件. 即点F为AC中点
科目:高中数学 来源: 题型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(2009湖南卷文)(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,
(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入到A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元.
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