Question

在平面直角坐标系中，点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|x≤4，y≥0，，3x-4y≥0}，
则（1）点集P={（x，y）|x=x₁+3，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}所表示的区域的面积为________；
（2）点集Q={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为________．

Answer 1

解：（1）由x=x₁+3，y=y₁+1，得x₁=x-3，y₁=y-1，
∵（x₁，y₁）∈A，代入x²+y²≤1，
∴（x-3）²+（y-1）²≤1，
点集P={（x，y）|x=x₁+3，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}
所表示的区域是：以（3，1）为圆心、以1为半径的圆，其面积是 π．

（2）由x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，得x₁=x-x₂，y₁=y-y₂，
∵（x₁，y₁）∈A，
∴把x₁=x-x₂，y₁=y-y₂，代入x²+y²≤1，
∴（x-x₂）²+（y-y₂）²≤1
点集Q所表示的区域是以集合B={（x，y）|x≤4，y≥0，，3x-4y≥0}，
的区域的边界为圆心轨迹半径为1 的圆内部分，如图
其面积为：5+6+4+3+π=18+π
故答案为：（1） π （2） 18+π
分析：（1）把x=x₁+3，y=y₁+1，中的x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得点集P的轨迹方程，然后求出点集P所表示的区域的面积．
（2）类似（1）把x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，中的x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得点集Q的轨迹方程，然后求出点Q所表示的区域的面积．
点评：本题考查二元一次不等式组与平面区域的关系问题，考查转化数学思想，作图能力，是难题．