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(2013•江门一模)春节期间,某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中,选出3种商品进行促销活动.
(1))试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率;
(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高100元,规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会:若中一次奖,则获得数额为m元的奖金;若中两次奖,则共获得数额为3m元的奖金;若中3次奖,则共获得数额为6m元的奖金.假设顾客每次抽奖中获的概率都是
13
,请问:商场将奖金数额m最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?
分析:(1)求互斥事件的概率一般有两种方法,直接法和间接法,本小题用用间接法比较简便.事件“至少有一种是家电”的对立事件是“商品中没有家电”,用公式P(A)=1-P(
.
A
),即运用逆向思维计算.
(2)欲求m的值,需要先求奖金总额的期望值,要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额即可.
解答:解:(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A,从3种服装、2种家电、3种日用品中,选出3种商品,一共有
C
3
8
种不同的选法…(1分),
选出的3种商品中,没有家电的选法有
C
3
6
种…(2分)
所以,选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P(A)=1-
C
3
6
C
3
8
=
9
14
…(4分)
(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ,其所有可能的取值为0,m,3m,6m.(单元:元)…(5分)
ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖,所以P(ξ=0)=(1-
1
3
)3=
8
27
…(6分)
同理,P(ξ=m)=
C
1
3
×(1-
1
3
)2×
1
3
=
4
9
…(7分)P(ξ=3m)=
C
2
3
×(1-
1
3
)1×(
1
3
)2=
2
9
…(8分)P(ξ=6m)=
C
3
3
×(
1
3
)3=
1
27
…(9分)
顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)=0×
8
27
+m×
4
9
+3m×
2
9
+6m×
1
27
=
4
3
m
…(12分)(列式(2分),计算1分)
4
3
m≤100
,解得m≤75…(13分)
所以故m最高定为75元,才能使促销方案对商场有利…(14分).
点评:本题考查古典概型、离散型随机变量的期望,以及运用互斥事件求概率的方法,同时考查期望的求法.属于中档题.
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1
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7
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1
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