Question

5．已知曲线C：y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0≤x≤2）与函数f（x）=log_ax及函数g（x）=a^x，（其中a＞1）的图象分别交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$的值为4．

Answer 1

分析 根据曲线C与f（x）和g（x）的图象分别交于A、B两点，且f（x）与g（x）互为反函数，
得出A与B关于y=x对称，横、纵坐标互换，从而求出x₁²+x₂²的值．

解答 解：∵y=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$，
∴x²+y²=4（0≤x≤2）；
又∵曲线C：y=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$与函数f（x）=log_ax和函数g（x）=a^x（其中a＞1）的图象
分别交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），如图所示；

且函数f（x）=log_ax与函数g（x）=a^x互为反函数，
∴A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x对称，
∴x₂=y₁；
又∵A（x₁，y₁）在曲线C上，
∴x₁²+x₂²=x₁²+y₁²=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了互为反函数的应用问题，是基础题目．