Question

在△ABC中，∠C=2∠B，且a，b为∠A，∠B所对边为已知，则

sin3B

sinB

=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：由已知∠C=2∠B及正弦定理可解得cosB=

c

2b

，可求得cosC，由两角和与差的正弦函数公式化简

sin3B

sinB

=4cos²B-1，由余弦定理求得cosC，从而解得c²，即可得解．

解答： 解：∵∠C=2∠B，
∴由正弦定理可得：

b

sinB

=

c

sinC

=

c

sin2B

=

c

2sinBcosB

，可得：cosB=

c

2b

，可解得：cosC=cos2B=2cos²B-1=

c2

2b2

-1①，
∴

sin3B

sinB

=

sin(B+2B)

sinB

=cos2B+2cos²B=4cos²B-1=

c2

b2

-1③．
∴由余弦定理可得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

②
∴由①②可解得：c²=b（a+b），从而代入③可解得：

sin3B

sinB

=

c2

b2

-1=

a

b

．
故答案为：

a

b

．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式及正弦定理的应用，属于基本知识的考查．