Question

已知数列的前项和为，且满足．
（1）求，的值；
（2）求；
（3）设，数列的前项和为，求证：．

Answer 1

（1） （2）． （3）见解析

解析试题分析：
（1）分别令n=1,2,在根据的定义即可求的.
（2）利用与的关系(),即可消去得到关于的递推式,整理可后利用叠乘法即可得到的通项公式,注意验证首项.此外还可以先找规律得到通项公式，再利用数学归纳法进行证明.这也是可以的.
（3）由第二问得是不可求和的数列,可以考虑放缩成为可求和的数列,跟据为分式,以此可以考虑放缩成为可以裂项求和的数列,裂项求和即可证明相应的不等式.
试题解析：
（1）当时，有，解得．
当时，有，解得．        2分
（2）（法一）当时，有, ①
． ②
①—②得：，即：．                    5分
．
  ．                      8分
另解：．
又当时，有， ．               9分[
（法二）根据，，猜想：．              3分
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当时，有，猜想成立．
（Ⅱ）假设当时，猜想也成立，即：．
那么当时，有，
即：，①
又 ， ②
①-②得：，
解，得 ．
当时，猜想也成立．
因此，由数学归纳法证得成立．              8分
（3），                 10分
 
 
 
．                       14分
考点：递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等