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已知点G是△ABC的重心,
AG
.
AB
AC
( λ,μ∈R),若∠A=120°,
.
AB
AC
=-2
,则
AG
 |
的最小值是(  )
A、
3
3
B、
2
2
C、
2
3
D、
3
4
分析:由三角形重心的性质可得,
AG
2
3
AD
=
1
3
(
AB
+
AC
)
,设|
AB
|=x,|
AC
|=y
,由向量数量积的定义可知
AB
AC
=|
AB
||
AC
|cos120°=-2
,可得xy=4,然后根据向量数量积的性质可得||
AG
|
=
1
3
x2+y2-4
,结合基本不等式可求
解答:解:由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,
AG
2
3
AD
=
1
3
(
AB
+
AC
)

∵∠A=120°,
.
AB
AC
=-2
,则根据向量的数量积的定义可得,
AB
AC
=|
AB
||
AC
|cos120°=-2

|
AB
|=x,|
AC
|=y

|
AB
||
AC
|=4
 即xy=4
|
AG
|=
1
3
|
AB
+
AC
|=
1
3
(
AB
+
AC
)
2
=
1
3
AB
2
+
AC
2
+2
AB
• 
AC
=
1
3
x2+y2-4

x2+y2≥2xy=8(当且仅当x=y取等号)
|
AG
|≥
2
3
|
AG
|
的最小值为
2
3

故选:C
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点评:此题是一道平面向量与基本不等式结合的试题,解题的关键是利用平面向量的数量积的性质把所求的问题转化为|
AG
|=
1
3
|
AB
+
AC
|=
1
3
(
AB
+
AC
)
2
=
1
3
AB
2
+
AC
2
+2
AB
• 
AC
=
1
3
x2+y2-4
,还利用了基本不等式求解最值.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知点G是△ABC的重心,A(0,-1),B(0,1).在x轴上有一点M,满足|
MA
|=|
MC
|
GM
AB
(λ∈R)
(若△ABC的顶点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则该三角形的重心坐标为G(
x1+x2+x3
3
y1+y2+y3
3
)
).
(1)求点C的轨迹E的方程.
(2)设(1)中曲线E的左、右焦点分别为F1、F2,过点F2的直线l交曲线E于P、Q两点,求△F1PQ面积的最大值,并求出取最大值时直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点G是△ABC的重心,
AG
AB
AC
(λ,μ∈R)
,那么λ+μ=
 
;若∠A=120°,
AB
AC
=-2
,则|
AG
|
的最小值是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点G是△ABC的重心,点P是△GBC内一点,若
AP
AB
AC
,则λ+μ
的取值范围是(  )
A、(
1
2
,1)
B、(
2
3
,1)
C、(1,
3
2
)
D、(1,2)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(文)已知奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈(0,1)时,函数f(x)=3x-1,则f(log
1
3
36)
=
 

(理)已知点G是△ABC的重心,O是空间任意一点,若
OA
+
OB
+
OC
OG
,则λ的值是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列六个命题:
sin1<3sin
1
3
<5sin
1
5

②若f'(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0取得极值;
③“?x0∈R,使得ex0<0”的否定是:“?x∈R,均有ex≥0”;
④已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且
AM
=x
AB
AN
=y
AC
,则
1
x
+
1
y
=3

⑤已知a=
π
0
sinxdx,
(
3
,a)
到直线
3
x-y+1=0
的距离为1;
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a,对任意的实数x恒成立,则实数a≤-1,或a≥4;
其中真命题是
①③④⑤
①③④⑤
(把你认为真命题序号都填在横线上)

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