【题目】如图在直三棱柱中, , 为中点.
(Ⅰ)求证: 平面.
(Ⅱ)若,且,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析:
(I)连结,由题意可证得,从而得为中点,所以,又由题意得得,所以得。(也可通过面面垂直证线面垂直)(II)由题意可得两两垂直,建立空间直角坐标系,求得平面和平面的法向量分别为, ,由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值。
试题解析:
(I)证明:连结,
∵ 平面平面, 平面,
∴ ,
∵为中点,
∴为中点,
∵,
∴①,
法一:由平面, 平面,
得,②,
由①②及,
所以平面.
法二:由平面, 平面,
∴ 平面平面,
又平面平面,
所以平面.
(II)解:由,得,
由(I)知,又,得,
∵,
∴,
∴两两垂直,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则, , ,
得, ,
设是平面的一个法向量,
由,得,
令,得,
设为平面的一个法向量,
由,得.
令,得,
∴
根据题意知二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
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【题目】如图,直线与圆O: 且与椭圆C: 相交于A,B两点
(1)若直线恰好经过椭圆的左顶点,求弦长AB;
(2)设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,判断k1·k2是否为定值,并说明理由
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【题目】设数列的前项和为,且对任意正整数,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为,是否存在正整数,使? 若存在,求出符合条件的所有的值构成的集合;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆点, 是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径相交于点。
(Ⅰ)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;
(Ⅱ)直线与点的轨迹交于不同两点和,且(其中 O 为坐标
原点),求的值.
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【题目】如图,在三棱柱中,侧棱底面, 为棱中点. , , .
(I)求证: 平面.
(II)求证: 平面.
(III)在棱的上是否存在点,使得平面平面?如果存在,求此时的值;如果不存在,说明理由.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
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【题目】如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?
(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?
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