Question

已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点，  
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）设双曲线C₂的方程为，
则，
再由，得，
故C₂的方程为；
（Ⅱ）将代入得，
由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得，即，  ①
将代入得，
由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B，
得，
即，
设，
则，
由，
而  

，
于是，
解此不等式得，      ③
由①、②、③得，
故k的取值范围为。