Question

如题19图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的下底面ABCD是边长为a的正方形，AA₁=a，且点A₁在下底面ABCD上的射影恰为D点．
（I）证明：B₁D⊥面A₁CB；
（II）求二面角A₁-BC-B₁的大小．

Answer 1

解：（I）∵点A₁在下底面ABCD上的射影恰为D点，∴点B₁在下底面ABCD上的射影恰为C点．
即B₁C⊥面ABCD，∴B₁C⊥BC 又BC⊥CD，BC⊥面B₁DC，∴BC⊥B₁D，又AA₁=a，AD=a，
∴A₁D=a，即A₁B₁CD为正方形，∴B₁D⊥A₁C，∴B₁D⊥面A₁CB．
（II）法一：BC⊥面B₁DC，∴BC⊥B₁C，BC⊥A₁C，∴∠B₁CA₁为二面角A₁-BC-B₁的 平面角，
设A₁C∩B₁D=O，则B₁C=A₁D=a B₁D=a，∴B₁O=，∴sin∠B₁CA₁==，∠B₁CA₁=45°，
∴二面角A₁-BC-B₁的大小是45°．
法二：建立空间直角坐标系如图所示，

则A₁（0，0，a），B₁（0，a，a），B（a，a，0），C（0，a，0）
=（0，a，-a） =（-a，0，0）=（0，0，-a）
设平面A₁BC的法向量为=（x，y，z，）则即
令y=1，得=（0，1，1）
设平面B₁BC的法向量为 =（x′，y′，z′），则即，
令y′=1，得=（0，1，0）
cos＜＞==，＜＞=45°，又二面角A₁-BC-B₁的为锐二面角，所以其大小为45°．
分析：（I） 由已知，点A₁在下底面ABCD上的射影恰为D点，点B₁在下底面ABCD上的射影恰为C点．易证BC⊥面B₁DC，得出BC⊥B₁D，再根据，又AA₁=a，AD=a，求出A₁D=a，判断出A₁B₁CD为正方形，再得出 B₁D⊥A₁C，且BC∩A₁C=C，于是B₁D⊥面A₁CB；
（Ⅱ）法一：在（I）的基础上，已有BC⊥面B₁DC，∴BC⊥B₁C，BC⊥A₁C，∴∠B₁CA₁为二面角A₁-BC-B₁的 平面角，设A₁C∩B₁D=O，利用sin∠B₁CA₁==，求得∠B₁CA₁=45°；
法二：以D点为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面A₁BC的法向量为，平面B₁BC的法向量为 ，利用＜的夹角求出二面角A₁-BC-B₁的大小．
点评：本题考查直线和平面垂直关系，二面角求解，考查转化的思想方法（空间问题平面化）空间想象能力，计算能力．利用空间向量的知识，则使问题论证与求解演变成了代数运算，降低了思维难度，使人们解决问题更加方便．