Question

选做题：已知曲线C₁，C₂的极坐标方程分别为ρ=4cos(θ+

π

6

)与ρcos(θ+

π

6

)=4．
（1）将C₁，C₂的方程化为直角坐标方程；
（2）设点P在曲线C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）把C₁ 的极坐标方程化为直角坐标方程为 (x-

3

)2+(y+1)2=4，故曲线C₁ 表示以C₁（

3

，-1）为圆心，以2为半径的圆．化简C₂的方程化为直角坐标方程

3

x-y-8=0，表示一条直线．
（2）由于点P在曲线C₁上，点Q在C₂上，圆心C₁到直线的距离等于

|3+1-8|

2

=2=r，故直线和圆相切，从而得到|PQ|的最小值．

解答：解：（1）C₁ ：ρ=4cos(θ+

π

6

)，即 ρ²=4ρcos

π

6

cosθ-sin

π

6

sinθ=2

3

ρcosθ-2ρsinθ，即 x²+y²=2

3

x-2y，
即 (x-

3

)2+(y+1)2=4，故曲线C₁ 表示以C₁（

3

，-1）为圆心，以2为半径的圆．
C₂ 即 ρ( cosθ cos

π

6

- sinθsin

π

6

) = 4，即

3

2

x-

1

2

y=4，即

3

x-y-8=0，表示一条直线．
（2）由于点P在曲线C₁上，点Q在C₂上，圆心C₁到直线的距离等于

|3+1-8|

2

=2=r，故直线和圆相切，
故|PQ|的最小值等于0．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．