Question

为倡导低碳生活，某节能产品生产厂家拟举行消费者购买产品获补贴的优惠活动，若厂家投放A、B两种型号产品的价值分别为a、b万元，则消费者购买产品获得相应的补贴分别为万元（m＞0且为常数）．已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号的产品投放到市场，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．（精确到0.1，参考数据：ln4=1.4）
（1）设投放B型产品的金额为x万元，请你将这次活动中消费者得到的总补贴表示为x的函数，并求其定义域；
（2）当时，当投放B型产品的金额为多少万元时，消费者得到的总补贴最多，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）当设投放B型产品的金额的x万元，则投放A型产品的金额为（10-x）万元，即可得到农民得到的总补贴的函数解析式，写出定义域；
（2）利用导数研究函数的极值，然后判定极值点左右的导数符号，确定函数的单调性，从而可求出函数的最大值．
解答：解：（1）当投放B型产品的金额的x万元时，投放A型产品的金额为（10-x）万元，消费者得到的总补贴为f（x）
f（x）=（10-x）+mln（x+1）=mln（x+1）-+1，1≤x≤9
（2）当时，消费者得到的总补贴为y=ln（x+1）-+1，x∈[1，9]
y′=-=，令y′=0得x=3
当x∈[1，3]时，y′＞0，当x∈（3，9]时，y′＜0
∴x=3时，y取最大值y_max=
即厂家分别投放A、B两种产品7万元与3万元时，消费者得到的总补贴最多，最多补贴约为1.3万元．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用导数研究函数的单调性及函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．