Question

【题目】设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求证f（x）为奇函数；
（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a﹣1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=x=0得

f（0）=2f（0）

∴f（0）=0

（2）证明：令y=﹣x得f（0）=f（x）+f（﹣x）→f（﹣x）=﹣f（x）

又函数的定义域为R

∴f（x）为奇函数

（3）解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）又f（1）=1

∴2=f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）

∴f（2a）＞f（a﹣1）+2即为f（2a）＞f（a﹣1）+f（2）

又f（a﹣1）+f（2）=f（a﹣1+2）=f（a+1）

∴f（2a）＞f（a+1）

又函数f（x）是R上的增函数

∴2a＞a+1得a＞1

∴a的取值范围是{a|a＞1}

【解析】（1）令x=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）可构造一个关于f（0）的方程，解方程即可得到答案；（2）令y=﹣x，f（x+y）=f（x）+f（y），可得到f（﹣x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义即可得到结论；（3）由f（1）=1，我们根据f（x+y）=f（x）+f（y），易得f（2）=2，故可将f（2a）＞f（a﹣1）+2转化为一个关于a的二次不等式，解不等式即可得到a的取值范围．