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【题目】已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.

(1)求不等式f(x)≤6的解集;

(2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集不是空集,求实数a的取值范围.

【答案】见解析

【解析】(1)f(x)=|x+3|-|x-2|≥3,

当x≥2时,有x+3-(x-2)≥3,解得x≥2;

当x≤-3时,-x-3+(x-2)≥3,解得x∈

当-3<x<2时,有2x+1≥3,解得1≤x<2.

综上,f(x)≥3的解集为{x|x≥1}.

(2)由绝对值不等式的性质可得,

||x+3|-|x-2||≤|(x+3)-(x-2)|=5,

则有-5≤|x+3|-|x-2|≤5.

若f(x)≥|a-4|有解,则|a-4|≤5,解得-1≤a≤9.

所以a的取值范围是[-1,9].

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