Question

数列{a_n}中，前n项和S_n=3ⁿ+1，
（1）求a₁；
（2）求通项公式a_n；
（3）该数列是等比数列吗？如不是，请说明理由；如是，请给出证明，并求出该等比数列的公比．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（1）在S_n=3ⁿ+1中令n=1，则a₁=4…..（3分）
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+1-（3^n-1+1）=2×3^n-1，而a₁=4…（8分）
所以通项公式为…..（10分）
（3）这个数列不是等比数列，因为：a₁=4，a₂=6，a₃=18，与a₂²=a₁a₃矛盾．…..（12分）
分析：（1）直接利用已知关系式，令n=1时，解出a₁；
（2）利用a_n=S_n-S_n-1，然后验证n=1时是否满足所求，即可求通项公式a_n；
（3）通过数列的前3项，即可判断数列不是等比数列．
点评：本题是中档题，开始数列的递推关系式的应用，考查通项公式的求法，考查数列的判断，注意通项公式的求解与验证，是解题的易错点．