Question

【题目】设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：

①abc的取值范围是（0，4）；

②a2+b2+c2为定值；③a+b+c=6

其中正确结论的为_______

Answer 1

【答案】①②③

【解析】设y=f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，则f′（x）=3x2﹣12x+9，

令f′（x）=0，解得x=1或x=3；

当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0；

∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；

当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0；

作出函数f（x）的图象如图所示：

∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，由图象知0＜t＜4，①正确；

令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）=0的三个实根．

∴x3﹣6x2+9x﹣t=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），

即x3﹣6x2+9x﹣t=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，

∴a+b+c=6，ab+bc+ac=9，abc=t，③正确；

∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18，∴②正确；

综上，正确的命题序号是①②③．

故答案为：①②③．