Question

（2012•西城区一模）如图，抛物线y=-x²+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记|CD|=2x，梯形ABCD面积为S．
（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式；
（Ⅱ）若

|CD|

|AB|

≤k，其中k为常数，且0＜k＜1，求S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，确定点C的纵坐标、点B的横坐标，从而利用梯形的面积公式，即可求得S关于x的函数式；
（Ⅱ）先确定函数关系式，再求导数，利用分类讨论的数学思想，确定函数的单调性，从而可求S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为yC=-x2+9．…（1分）
点B的横坐标x_B满足方程-

x

2 B

+9=0，解得x_B=3，舍去x_B=-3． …（2分）
所以S=

1

2

(|CD|+|AB|)•yC=

1

2

(2x+2×3)(-x2+9)=(x+3)(-x2+9)．…（4分）
由点C在第一象限，得0＜x＜3．
所以S关于x的函数式为 S=（x+3）（-x²+9），0＜x＜3．…（5分）
（Ⅱ）由 

0＜x＜3 x 3 ≤k

及0＜k＜1，得0＜x≤3k．  …（6分）
记f（x）=（x+3）（-x²+9），0＜x≤3k，
则f'（x）=-3x²-6x+9=-3（x-1）（x+3）．  …（8分）
令f'（x）=0，得x=1．      …（9分）
①若1＜3k，即

1

3

＜k＜1时，f'（x）与f（x）的变化情况如下：

x	（0，1）	1	（1，3k）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

所以，当x=1时，f（x）取得最大值，且最大值为f（1）=32．…（11分）
②若1≥3k，即0＜k≤

1

3

时，f'（x）＞0恒成立，
所以，f（x）的最大值为f（3k）=27（1+k）（1-k²）．         …（13分）
综上，

1

3

≤k＜1时，S的最大值为32；0＜k＜

1

3

时，S的最大值为27（1+k）（1-k²）．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用导数知识解决最大值问题，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．