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建筑一个容积为8000 m3、深6 m的长方体蓄水池(无盖),池壁造价为a元/米2,池底造价为2a元/米2,把总造价y元表示为底的一边长x m的函数,其解析式为
 
,定义域为
 
.底边长为
 
m时总造价最低是
 
元.
分析:设池底一边长x(m),其邻边长为
8000
6x
(m),由面积公式算出池底的面积,由题意建立蓄水池的总造价y(元)与池底一边长x(m)之间的函数关系,因在函数关系式中出现了积为定值的形式,故可以用基本不等式求最值.
解答:解:设池底一边长x(m),则其邻边长为
8000
6x
(m),池壁面积为2•6•x+2•6•
8000
6x
=12(x+
8000
6x
)(m2),池底面积为x•
8000
6x
=
8000
6
(m2),根据题意可知蓄水池的总造价y(元)与池底一边长x(m)之间的函数关系式为
y=12a(x+
8000
6x
)+
8000
3
a.定义域为(0,+∞).
x+
8000
6x
≥2
x•
8000
6x
=
40
3
30
(当且仅当x=
8000
6x
即x=
20
3
30
时取“=”).
∴当底边长为
20
3
30
m时造价最低,最低造价为(160
30
a+
8000
3
a)元.
故应填:y=12a(x+
8000
6x
)+
8000
3
a,(0,+∞),
20
3
30
,160
30
a+
8000
3
a.
点评:本题考点是基本不等式求最值,其特点是先根据题设中的条件建立起函数关系,再观察函数的形式得出求造价最低的方法.
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