Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点．

（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）若E为线段PA上一点，且 ，求二面角P﹣OE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB，

∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，

∴四边形ABFD为正方形，

∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，

∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，

∵BD= = =2 ，

∴PO= = = ，AO= ，

在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，

∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．

（2）解：由（1）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，

∴过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0），

F（1，1，0），C（1，3，0），P（0，0， ），O（0，0，0），

设E（a，b，c），∵ ，∴（a+1，b+1，c）=（ ），

∴ ，解得 ，∴E（﹣ ，﹣ ， ），

=（﹣ ，﹣ ， ）， =（0，0， ）， =（1，3，0）

设平面OPE的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，0），

设平面OEC的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a=3，得 =（3，﹣1，2 ），

设二面角P﹣OE﹣C的平面角为θ，

则cosθ=|cos＜ ， ＞|= = = ．

∴二面角P﹣OE﹣C的余弦值为 ．

【解析】（1）设F为DC的中点，连接BF，推导出四边形ABFD为正方形，PO⊥BD，PO⊥AO，由此能证明PO⊥平面ABCD．（2）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣OE﹣C的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．