Question

【题目】如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2 ．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．

（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ

∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF= AD

∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点

∴OP∥DM，且OP= DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP= AD

∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形

∴PQ∥OF

∵PQ平面BCD且OF平面BCD，∴PQ∥平面BCD

（2）解：过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH

∵AD⊥平面BCD，CG平面BCD，∴AD⊥CG

又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线

∴CG⊥平面ABD，结合BM平面ABD，得CG⊥BM

∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线

∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH

因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°

设∠BDC=θ，可得

Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2 cosθ，CG=CDsinθ=2 sinθcosθ，BG=BCsinθ=2 sin2θ

Rt△BMD中，HG= = ；Rt△CHG中，tan∠CHG= =

∴tanθ= ，可得θ=60°，即∠BDC=60°

【解析】（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG= = ，从而得到tanθ= ，由此可得∠BDC．