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    已知锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且2sin(c+
    π
    3
    )=sin2C+sin
    π
    3
    ．
    （1）求角C的大小；
    （2）若a=4，设D是BC的中点，
    AD
    •
    AC
    =2
    AB
    •
    AC
    ，求△ABC的面积．
    分析：（1）根据两角和的正弦公式和二倍角三角函数公式，将已知等式化简整理得：sinC+
    		3
    cosC=2sinCcosC+
    		3
    2
    ，再因此分解得（2cosC-1）（
    		3
    2
    -sinC）=0，最后结合△ABC是锐角三角形，可得出C=
    π
    3
    ；
    （2）D是BC的中点，得
    AD
    =
    1
    2
    （
    AB
    +
    AC
    ），代入
    AD
    •
    AC
    =2
    AB
    •
    AC
    并化简整理，得2
    AC
    2    =3
    BC
    •
    AC
    =
    3
    2
    |
    BC
    |•|
    AC
    |，
    因此，|
    AC
    |=
    3
    4
    |
    BC
    |即b=
    3
    4
    a=3，再由正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积．
    解答：解：（1）∵2sin(c+
    π
    3
    )=sin2C+sin
    π
    3

    ∴2（sinCcos
    π
    3
    +cosCsin
    π
    3
    ）=2sinCcosC+
    		3
    2

    即sinC+
    		3
    cosC=2sinCcosC+
    		3
    2
    ，移项整理得：（2cosC-1）（
    		3
    2
    -sinC）=0
    ∴cosC=
    1
    2
    或sinC=
    		3
    2
    ，结合C为锐角，可得C=
    π
    3

    （2）∵D是BC的中点，得
    AD
    =
    1
    2
    （
    AB
    +
    AC
    ）
    ∴
    AD
    •
    AC
    =2
    AB
    •
    AC
    即
    1
    2
    （
    AB
    +
    AC
    ）•
    AC
    =2
    AB
    •
    AC

    化简整理，得
    AC
    2    =3
    AB
    •
    AC
    =3（
    AC
    +
    CB
    ）•
    AC

    ∴2
    AC
    2    =3
    BC
    •
    AC
    =3|
    BC
    |•|
    AC
    |cosC=
    3
    2
    |
    BC
    |•|
    AC
    |
    因此，|
    AC
    |=
    3
    4
    |
    BC
    |即b=
    3
    4
    a=3
    ∴△ABC的面积S=
    1
    2
    absinC=
    1
    2
    ×4×3×sinC=3
    		3
    ．
    点评：本题给出锐角三角形，在已知三角等式的情况下求角C的大小，求三角形的面积，着重考查了两角和的正弦公式、正弦定理和向量数量积的运算公式等知识，属于中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=
    		2
    ，b=
    		3
    ，B=
    π
    3
    ．
    （Ⅰ）求角A的大小；
    （Ⅱ）设函数f(x)=cosB•sin2x+cos2x，当x∈[-
    π
    4
    ，0]    时，求f（x）的值域．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．
    （1）设
    BC
    •
    CA
    =
    CA
    •
    AB
    ，求证：△ABC是等腰三角形；
    （2）设向量
    s
    =（2sinC，-
    		3
    ），
    t
    =（cos2C，2cos2
    C
    2
    -1），且
    s
    ∥
    t
    ，若sinA=
    2
    3
    ，求sin（
    π
    3
    -B）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•淮安模拟）已知锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6，向量
    s
    =（2sinC，-
    		3
    ），
    t
    =（cos2C，2cos2
    C
    2
    -1），且
    s
    ∥
    t
    ．
    （1）求C的大小；
    （2）若sinA=
    1
    3
    ，求sin(
    π
    3
    -B)    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A?＞0，ω＞0，-
    π
    2
    ＜φ＜
    π
    2
    ）的部分图象如图所示．
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C，若有f（
    A
    π
    ）=
    		3
    2
    ，边BC=
    		7
    ，sin B=
    		21
    7
    求△ABC的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知锐角△ABC中，三个内角为A，B，C，两向量
    p
    =（2-2sinA，cosA+sinA），
    q
    =（sinA-cosA，1+sinA），若
    p
    与
    q
    是共线向量．
    （1）求∠A的大小；  
    （2）求函数y=2sin2B+cos(
    C-3B
    2
    )    取最大值时，∠B的大小．

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