Question

已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立． 数列{a_n}满足a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），且a₁=2．则数列的通项公式a_n=________．

Answer 1

n2ⁿ
分析：可根据a_n=f（2ⁿ）再利用对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立令x=2ⁿ，y=2得到递推关系式a_n+1=2a_n+2×2ⁿ然后两边同除以2ⁿ⁺¹可构造出数列{}是以为首项公差为1的等差数列后就可解决问题了．
解答：由于a_n=f（2ⁿ）则a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）且a₁=2=f（2）
∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2ⁿ，y=2则f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ）
∴a_n+1=2a_n+2×2ⁿ
∴
∴数列{}是以为首项公差为1的等差数列
∴
∴a_n=n2ⁿ
点评：此题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式，是函数与数列的综合题．解题的关键是分别赋予x=2ⁿ，y=2得到a_n+1=2a_n+2×2ⁿ然后构造出数列{}是以为首项公差为1的等差数列后就可求解．同时要对递推关系式a_n+1=pa_n+qⁿ通过两边同除以qⁿ⁺¹构造出{}为等差数列进而求出a_n的通项公式．