Question

已知可行域的外接圆C与x轴交于点A₁、A₂，椭圆C₁以线段A₁A₂为长轴，离心率．
（1）求圆C及椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的右焦点为F，点P为圆C上异于A₁、A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由C：x²+y²=4，A₁（-2，0），A₂（2，0），能求出椭圆方程．
（2）设p（x，y），（x≠±2），当x=时，P（2，），，k_Op•k_PQ=-1，当时，，，由此能判断直线PQ与圆C的位置关系．
解答：解：（1）：解方程组，得：y=0，x=-2，
，得：y=0，x=2，
，得：y=，x=1，
∴可行域y的三个顶点分别为：（-2，0），（2，0），（1，），
设圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
得到方程组：，
解得：D=0，E=0，F=-4，
∴圆C的方程为：x²+y²=4，
圆与X轴的交点A₁（-2，0），A₂（2，0），
设椭圆C₁的方程的方程为：
，（a＞b＞0）
则有，
∴椭圆方程为：
（2）设p（x，y），（x≠±2），
∴当x=时，P（2，），
，k_Op•k_PQ=-1，
当时，，，
∴，
∴，
∴K_OP•K_PQ=-1，故相切．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．