【题目】已知函数f(x)=3mx﹣ ﹣(3+m)lnx,若对任意的m∈(4,5),x1 , x2∈[1,3],恒有(a﹣ln3)m﹣3ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成立,则实数a的取值范围是 .
【答案】[ ,+∞)
【解析】解:函数的导数f′(x)=3m+ ﹣ =
= = ,
∵m∈(4,5),
∴ ∈( , ),
由f′(x)>0得x> 或x< ,此时函数单调递增,
由f′(x)<0得 <x< ,此时函数单调递减,
∴当x∈[1,3]时,函数f(x)为增函数,
则函数的最大值为f(3)max=9m﹣ ﹣(3+m)ln3,
函数的最小值为f(1)min=3m﹣1,
则|f(x1)﹣f(x2)|max=9m﹣ ﹣(3+m)ln3﹣(3m﹣1)=6m+ ﹣(3+m)ln3,
则(a﹣ln3)m﹣3ln3>|f(x1)﹣f(x2)|恒成立,
等价为(a﹣ln3)m﹣3ln3>6m+ ﹣(3+m)ln3,
即am>6m+ ,即a>6+ ,
∵m∈(4,5),
∴ ∈( , ),
∴ ∈( , ),
则6+ ∈( , ),
则a≥ ,
即实数a的取值范围是[ ,+∞),
所以答案是:[ ,+∞).
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【题目】如图是某市年月日至日的空气质量指数趋势图,某人随机选择年月日至月日中的某一天到达该市,并停留天.
(1)求此人到达当日空气质量指数大于的概率;
(2)设是此人停留期间空气质量指数小于的天数,求的分布列与数学期望;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
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【题目】已知函数的图象过点.
(1)求的值并求函数的值域;
(2)若关于的方程有实根,求实数的取值范围;
(3)若函数,则是否存在实数,使得函数的最大值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】给出下列四个五个命题:
①“”是“”的充要条件
②对于命题,使得,则,均有;
③命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为:“若方程
没有实数根,则”;
④函数只有个零点;
⑤使是幂函数,且在上单调递减.
其中是真命题的个数为:
A. B. C. D.
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【题目】在直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若曲线与相交于,两点,求的值.
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【题目】小张经营某一消费品专卖店,已知该消费品的进价为每件40元,该店每月销售量(百件)与销售单价x(元/件)之间的关系用下图的一折线表示,职工每人每月工资为1000元,该店还应交付的其它费用为每月10000元.
(1)把y表示为x的函数;
(2)当销售价为每件50元时,该店正好收支平衡(即利润为零),求该店的职工人数;
(3)若该店只有20名职工,问销售单价定为多少元时,该专卖店可获得最大月利润?(注:利润=收入-支出)
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣2|+|2x+a|,a∈R.
(1)当a=1时,解不等式f(x)≥5;
(2)若存在x0满足f(x0)+|x0﹣2|<3,求a的取值范围.
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