Question

已知AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=CA，P为A₁B上的点.

   （1）当；

   （2）当二面角P―AC―B的大小为的值.

Answer 1

解法1：（1）当时.

作PD∥A₁A交AB于D，连CD.

由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC.

当P为A₁B中点时，D为AB中点.

∵△ABC为正三角形，

∴CD⊥AB，

∴PC⊥AB（三垂线定理）

   （2）过D作DE⊥AC于E，连结PE，则PE⊥AC，                           

∴∠DEP为二面角P―AC―B的平面角，，

                                                               

                                         

又                   

解法2：建立空间直角坐标系如图所示，设AB=BC=AA₁=CA=a.

则

设

   （1）由的中点，

即时，PC⊥AB.

   （2）当得，

 

设平面PAC的法向量

取                       

可设平面ABC的法向量为

（负值舍去）.