Question

（本小题满分12分）
　　　如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点。
　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，值有，求a的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）（，+）

本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.
解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，
所以,
即1＝
因此，椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时，

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：
整理得
所以
因为恒有，所以AOB恒为钝角.
即恒成立.


又a²+b²m²>0,所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²<0对mR恒成立，
即a²b²m²> a² -a²b²+b²对mR恒成立.
当mR时，a²b²m²最小值为0，所以a²- a²b²+b²<0.
a²<a²b²- b^2,a²<( a²-1)b²= b⁴,
因为a>0,b>0,所以a<b²,即a²-a-1>0,
解得a>或a<(舍去)，即a>,
综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，
x=1代入=1.
因为恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,2(1+y_A²)<4 y_A^2,y_A²>1，即>1,
解得a>或a<(舍去)，即a>.
（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x_1,y₁）, B（x_2,y2）.
设直线AB的方程为y=k(x-1)代入
得(b²+a²k²)x²-2a²k²x+ a²k^2-a²b²=0,
故x₁+x₂₌
因为恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,
所以x²₁+y²₁+ x²₂+ y²₂<( x₂-x₁)²₊(y₂-y₁)²_,
得x₁x₂+ y₁y₂<0恒成立.
x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂+k²(x₁-1) (x₂-1)=(1+k²) x₁x₂-k²(x₁₊x₂)+ k²
=(1+k²).
由题意得（a²- a²b²+b²）k²- a² b²<0对kR恒成立.
①当a²- a²b²+b²>0时，不合题意；
②当a²- a²b²+b²=0时，a=;
③当a²- a²b²+b²<0时，a²- a²(a²-1)+ (a²-1)<0，a⁴- 3a² +1>0,
解得a²>或a²>（舍去），a>，因此a.
综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.