Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点(4，-

10

)，A点坐标为（0，2），则双曲线上距点A距离最短的点的坐标是

(±

7

，1)

．

Answer 1

分析：根据题意该双曲线是等轴双曲线，设方程为x²-y²=λ（λ≠0），代入已知点坐标算出λ=6，从而得到双曲线方程．再设点P（m，n）是双曲线上的动点，将PA长表示为m、n的式子，结合双曲线方程和二次函数求最值的方法，可得当P的纵坐标为1时P、A的距离最短，由此不难得到双曲线上距点A距离最短的点的坐标．

解答：解：∵双曲线一条渐近线方程为y=x，
∴双曲线是等轴双曲线，设方程为x²-y²=λ（λ≠0）
∵点(4，-

10

)在双曲线上，
∴4²-（-

10

）²=λ，解得λ=6
因此，双曲线方程为x²-y²=6，
设点P（m，n）是双曲线上的动点，得
|PA|=

m2+(n-2)2

=

2n2-4n+4

当且仅当n=1时，|PA|有最小值

2

，此时m=±

7

∴双曲线上的P坐标是（±

7

，1）时，P距点A的距离最短．
故答案为：（±

7

，1）

点评：本题给出等轴双曲线上一个动点，求该点到（0，2）距离的最小值，着重考查了两点之间的距离公式、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．