如图,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由.
(1);(2)存在满足条件的圆,其方程为.
解析试题分析:(1)由题设知其中
由,结合条件的面积为,可求的值,再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得的值,从而确定椭圆的标准方程;
(2)假设存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点;设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点为由圆的对称性可知,利用在圆上及确定交点的坐标,进而得到圆的方程.
解:(1)设,其中,
由得
从而故.
从而,由得,因此.
所以,故
因此,所求椭圆的标准方程为:
(2)如图,设圆心在轴上的圆与椭圆相交,是两个交点,,,是圆的切线,且由圆和椭圆的对称性,易知
,
由(1)知,所以,再由得,由椭圆方程得,即,解得或.
当时,重合,此时题设要求的圆不存在.
当时,过分别与,垂直的直线的交点即为圆心,设
由得而故
圆的半径
综上,存在满足条件的圆,其方程为:
考点:1、椭圆的标准方程;2、圆的标准方程;3、直线与圆的位置关系;4、平面向量数量积的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知圆心坐标为的圆与轴及直线均相切,切点分别为、,另一圆与圆、轴及直线均相切,切点分别为、。
(1)求圆和圆的方程;
(2)过点作的平行线,求直线被圆截得的弦的长度;
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已知圆A:x2+y2-2x-2y-2=0.
(1)若直线l:ax+by-4=0平分圆A的周长,求原点O到直线l的距离的最大值;
(2)若圆B平分圆A的周长,圆心B在直线y=2x上,求符合条件且半径最小的圆B的方程.
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已知圆C的方程为,过点M(2,4)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,
直线AB恰好经过椭圆T:(a>b>0)的右顶点和上顶点.
(1)求椭圆T的方程;
(2)已知直线l:y=kx+(k>0)与椭圆T相交于P,Q两点,O为坐标原点,
求△OPQ面积的最大值.
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已知圆C经过点A(-2,0),B(0,2),且圆心C在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆C相交于P、Q两点.
(1)求圆C的方程;
(2)过点(0,1)作直线l1与l垂直,且直线l1与圆C交于M、N两点,求四边形PMQN面积的最大值.
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已知直线l:y=x+m,m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程;
(2)若直线l关于x轴对称的直线为lˊ,问直线lˊ与抛物线C:是否相切?说明理由.
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