Question

12．已知椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点都在坐标原点O，C₁和C₂有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C₁的长轴长、短轴长及点F到直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距离成等比数列．
（Ⅰ）当C₂的准线与直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距离为15时，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）设点F且斜率为1的直线l交C₁于P，Q两点，交C₂于M，N两点．当$|PQ|=\frac{36}{7}$时，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （I）先设C₁、C₂的标准方程，进而可得到a=2c，再求出C₁的右准线方程、C₂的准线方程，根据C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列求出a，b，c的值，得到答案；
（II）先表示出直线l的方程，然后设M、N、P、Q四点的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程进而得到两根之和、两根之积再由$|PQ|=\frac{36}{7}$可求出c的值，最后联立直线和抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，同样可得到两根之和根据是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c可最后答案．

解答 解：（Ⅰ）设C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0），则C₂：y²=4cx，
由条件知（2b）²=2a（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c），得a=2c，
C₁的右准线方程为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，即x=4c，
C₂的准线方程为x=-c，
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=$3\sqrt{3}$，
从而C₁：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{27}$=1，C₂：y²=12x；
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由（Ⅰ）知C₁：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，即3x²+4y²=12c²，
由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\\{y=x-c}\end{array}\right.$，知x₃、x₄满足7x²-8cx-8c²=0，
从而|PQ|=$\sqrt{（{x}_{3}-{x}_{4}）^{2}+（{y}_{3}-{y}_{4}）^{2}}$=$\sqrt{2}$•|x₃-x₄|=$\frac{24}{7}$c，
由条件|PQ|=$\frac{36}{7}$，得c=$\frac{3}{2}$，故C₂：y²=6x，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=6x}\\{y=x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得x²-9x+$\frac{9}{4}$=0，所以x₁+x₂=9，
于是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=12．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题，直线和圆锥曲线的综合题是每年的重头戏，一般作为压轴题出现，要想答对必须熟练掌握其基础知识，多做练习．注意解题方法的积累，属于中档题．