Question

如图，四边形OABC是边长为1的正方形，

OD

=3

OA

，点P为△BCD（含边界）内的一个动点，设

OP

=x

OC

+y

OD

，则x²+9y²的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：以OD为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系，根据点P为△BCD（含边界）内的一个动点建立不等关系，最后将3y看整体，则x²+9y²表示区域里点到原点距离的平方的几何意义进行求解即可．

解答：解：以OD为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系
则C（0，1），D（3，0），B（1，1）
直线CD的方程为x+3y-3=0，直线BD的方程为x+2y-3=0

OP

=x

OC

+y

OD

=（m，n）=（3y，x）
∵点P为△BCD（含边界）内的一个动点
∴

3y+3x-3≥0 3y+2x-3≤0 x≤1

将3y看整体，则x²+9y²表示区域里点到原点距离的平方
当原点到直线3x+y-3=0的距离时x²+9y²取最小值
即d=

3

10

∴x²+9y²的最小值等于

9

10

故答案为：

9

10

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及利用解析法求解和线性规划的方法求最值，有一定的难度，属于中档题．