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精英家教网如图,四边形OABC是边长为1的正方形,
OD
=3
OA
,点P为△BCD(含边界)内的一个动点,设
OP
=x
OC
+y
OD
,则x2+9y2的最小值等于
 
分析:以OD为x轴,OC为y轴,建立直角坐标系,根据点P为△BCD(含边界)内的一个动点建立不等关系,最后将3y看整体,则x2+9y2表示区域里点到原点距离的平方的几何意义进行求解即可.
解答:解:以OD为x轴,OC为y轴,建立直角坐标系
则C(0,1),D(3,0),B(1,1)
直线CD的方程为x+3y-3=0,直线BD的方程为x+2y-3=0
OP
=x
OC
+y
OD
=(m,n)=(3y,x)
∵点P为△BCD(含边界)内的一个动点
3y+3x-3≥0
3y+2x-3≤0
x≤1

将3y看整体,则x2+9y2表示区域里点到原点距离的平方
当原点到直线3x+y-3=0的距离时x2+9y2取最小值
即d=
3
10

∴x2+9y2的最小值等于
9
10

故答案为:
9
10
点评:本题主要考查了向量在几何中的应用,以及利用解析法求解和线性规划的方法求最值,有一定的难度,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

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如图,四边形OABC为矩形,点A、C的坐标分别为(a+1,0)(a>1)、(0,1),点D在OA上,坐标为(a,0),椭圆C分别以OD、OC为长、短半轴,CD是椭圆在矩形内部的椭圆弧.已知直线l:y=-x+m与椭圆弧相切,且与AD相交于点E.
(Ⅰ)当m=2时,求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)圆M在矩形内部,且与l和线段EA都相切,若直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分,求圆M面积的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OD=3,点P为△BCD内(含边界)的动点,设
OP
OC
OD
(α,β∈R),则α+β的最大值等于
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数y=
k
x
(x>0)的图象经过点B.
(1)求k的值;
(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折,得到正方形MABC′、NA′BC.设线段MC′、NA′分别与函数y=
k
x
(x>0)的图象交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式.
(3)计算△EOF的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•文昌模拟)如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OD=3,点P为△BCD内(含边界)的动点,设
OP
OC
OD
(α,β∈R),则α+β的最大值等于 (  )

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