Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为棱PB的中点，O为AC与BD的交点，
（Ⅰ）证明：PD∥平面EAC
（Ⅱ）证明：平面EAC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，O是AC与BD的交点 ∴O是BD的中点；
连接EO．

∵E是PB中点，O是BD的中点
∴EO∥PD．
根据直线与平面平行的判定定理可证明：
∴PD∥平面EAC．
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
【解析】（Ⅰ）由已知得PD∥OE，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．（Ⅱ）已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．