Question

【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围.

（2）设的两个极值点为，证明

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）极值点转化为导函数零点，即在有两个不同根.变量分离为 ，利用导数可得函数在上单调减，在上单调增，根据趋势可得函数在上范围为，在上范围为，因此要有两解，需，（2）利用导数证明不等式关键是构造恰当的函数： 等价于 ，而由零点可得.代入化简得，令，则，因此构造函数，利用导数求其最小值为，由于，所以命题得证.

试题解析：（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即方程在有两个不同根.

转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点

又，即时， ， 时， ，

所以在上单调增，在上单调减，从而.

又有且只有一个零点是1，且在时， ，在时， ，

所以由的图象，要想函数与函数的图象在上有两个不同交点，只需，即

（2）由（1）可知分别是方程的两个根，即， ，

设，作差得， ，即.

原不等式等价于

令，则， ，

设， ， ，

∴函数在上单调递增，∴，

即不等式成立，故所证不等式成立.