Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．
（1）求m、n的值；
（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．
（3）令 ，若函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数r的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．

可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2

（2）解：由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，

不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，

可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，

f（x）=x2﹣3x+2在x∈[0，5]上的最小值为：f（ ）=﹣ ，

可得k＜﹣

（3）解： =x+ ﹣3，函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，

即g（2x）﹣r2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，

即r=1+2（ ）2﹣3 在x∈[﹣1，1]上有解，

令t= ，则r=2t2﹣3t+1，

∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[ ，2]，

即r=2t2﹣3t+1在t∈[ ，2]上有解，

r=2k2﹣2t+1=2（t﹣ ）2﹣ ，（ ≤t≤2），

∴﹣ ≤r≤3，

∴r的范围是[﹣ ，3]

【解析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．（2）求出函数f（x）的最小值，即可求解k的范围．（3）问题转化为r=1+2（ ）2﹣3 在x∈[﹣1，1]上有解，通过换元得到r=2t2﹣3t+1在t∈[ ，2]上有解，求出k的范围即可．