Question

16．已知O为坐标原点，实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≤0}\\{3x+4y≤12}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，P（x，y）为该不等式组所表示的平面区域内任意一点，使z=x+2y取最大值的点为A点，则|OP|•|AO|•cos∠AOP的最大值等于（　　）

• A． $\frac{97}{16}$
• B． $\frac{11}{2}$
• C． $\frac{167}{28}$
• D． $\frac{38}{7}$

Answer 1

分析 通过约束条件可知A（1，$\frac{9}{4}$）使z=x+2y取最大值，进而利用向量数量积的定义可得结论．

解答 解：依题意，约束条件为△ABC，其中三个顶点坐标为（1，$\frac{9}{4}$）、（1，2）、（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$），
∵使z=x+2y取最大值的点为A点，
∴A（1，$\frac{9}{4}$），不妨记B（1，2）、C（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$），
∵|OP|•|AO|•cos∠AOP=|OP|•|OA|•cos∠AOP=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$，
∴当P与点A重合时$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$最大，
最大值为$\sqrt{（1-0）^{2}+（\frac{9}{4}-0）^{2}}$=$\frac{97}{16}$，
故选：A．

点评 本题考查简单线性规划，考查平面向量数量积，注意解题方法的积累，属于中档题．