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(本小题满分13分)

已知数列满足:

得值;

求证:数列是等比数列,并求出其通项公式;

对任意的,在数列中是否存在连续项构成等差数列?若存在,写出这项,并证明这项构成等差数列;若不存在,说明理由。

(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)因为 ,所以

,                      …………3分

(Ⅱ)由题意,对于任意的正整数

所以                                          …………4分

所以                                           …………6分

    又                                  …………7分

     所以是首项为2,公比为2的等比数列,所以     …………8分

(III)存在. 事实上,对任意的,在数列中,

这连续的项就构成一个等差数列     ……10分

我们先来证明:

“对任意的,有

由(II)得,所以 .

     当为奇数时,

为偶数时,

因此要证,只需证明

其中

(这是因为若,则当时,则一定是奇数,

=

     当时,则一定是偶数,有

               = )

如此递推,要证, 只要证明

其中

如此递推下去, 我们只需证明

,即,由(I)可得,

所以对,有

对任意的

,其中

所以

,所以

所以这连续的项,

是首项为,公差为的等差数列 .       …………13分

说明:当(其中)时,

因为构成一个项数为的等差数列,所以从这个数列中任取连续的项,也是一个项数为,公差为的等差数列.

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