【题目】已知函数,
.
(1)讨论的单调性;
(2)若对任意,都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,在
上,
是减函数,当
时,在
上,
是减函数,在
上,
是增函数;(2)
【解析】
求出函数的定义域,函数的导数,通过a的范围讨论,判断函数的单调性即可.(2)
对任意x>0,都有f(x)>0成立,转化为在(0,+∞)上f(x)min>0,利用函数的导数求解函数的最值即可.
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞)
又
当a≤0时,在(0,+∞)上,f′(x)<0,f(x)是减函数
当a>0时,由f′(x)=0得:或
(舍)
所以:在上,f′(x)<0,f(x)是减函数
在上,f′(x)>0,f(x)是增函数
(2)对任意x>0,都有f(x)>0成立,即:在(0,+∞)上f(x)min>0
由(1)知:当a≤0时,在(0,+∞)上f(x)是减函数,
又f(1)=2a﹣2<0,不合题意
当a>0时,当时,f(x)取得极小值也是最小值,
所以:
令(a>0)
所以:
在(0,+∞)上,u′(a)>0,u(a)是增函数又u(1)=0
所以:要使得f(x)min≥0,即u(a)≥0,即a≥1,
故:a的取值范围为[1,+∞)
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=81,a3+a5=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,若{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<
.
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【题目】如图,四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
,侧面
是等腰直角三角形,
,平面
平面
,点
分别是棱
上的点,平面
平面
(Ⅰ)确定点的位置,并说明理由;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
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【题目】下列说法中错误的是
①命题“,有
”的否定是“
,都有
”;
②若一个命题的逆命题为真命题,则它的否命题也一定为真命题;
③已知为假命题,则实数
的取值范围是
;
④我市某校高一有学生人,高二有学生
人,高三有学生
人,现采用分层抽样的方法从该校抽取
个学生作为样本进行某项调查,则高三被抽取的学生个数为
人.
A. ①④ B. ①③④ C. ②④ D. ①②
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【题目】平面上有12个点,且任意三点不共线,以其中任意一点为始点,另一点为终点作向量,且作出所有的向量.其中3边向量的和为零向量的三角形称为“零三角形”.求以这些点为顶点的“零三角形”个数的最大值.
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【题目】为了解使用手机是否对学生的学习有影响,某校随机抽取100名学生,对学习成绩和使用手机情况进行了调查,统计数据如表所示(不完整):
使用手机 | 不使用手机 | 总计 | |
学习成绩优秀 | 10 | 40 | |
学习成绩一般 | 30 | ||
总计 | 100 |
(Ⅰ)补充完整所给表格,并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关;
(Ⅱ)现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人,再从这6人中随机抽取3人,记这3人中“学习成绩优秀”的人数为,试求
的分布列与数学期望.
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线
的参数方程为
(
为参数).在以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线
的极坐标方程是
.
(1)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)设点.若直
与曲线
相交于两点
,求
的值.
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