Question

1．如图所示，甲船以每小时30$\sqrt{2}$海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B₁处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A₂处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B₂处，此时两船相距10$\sqrt{2}$海里．问：乙船每小时航行多少海里？

Answer 1

分析 连接A₁B₂，则∴△A₁A₂B₂是等边三角形，求出A₁B₂，在△A₁B₂B₁中使用余弦定理求出B₁B₂的长，除以航行时间得出速度．

解答 解：如图，连接A₁B₂，由题意知，
A₁B₁=20，A₂B₂=10$\sqrt{2}$，A₁A₂=$\frac{20}{60}$×30$\sqrt{2}$=10$\sqrt{2}$（海里）．
又∵∠B₂A₂A₁=180°-120°=60°，
∴△A₁A₂B₂是等边三角形，∴A₁B₂=10$\sqrt{2}$，∠B₁A₁B₂=105-60°=45°．
在△A₁B₂B₁中，由余弦定理得
B₁B₂²=A₁B₁²+A₁B₂²-2A₁B₁•A₁B₂cos 45°
=20²+（10$\sqrt{2}$）²-2×20×10$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=200，
∴B₁B₂=10$\sqrt{2}$（海里）．
因此乙船的速度大小为$\frac{10\sqrt{2}}{20}$×60=30$\sqrt{2}$（海里/小时）．

点评 本题考查了解三角形的实际应用，构造三角形寻找边角关系是解题关键．