Question

14．已知抛物线C：x²=2px的准线方程y=-$\frac{1}{2}$，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等．
（1）求以N为圆心且与直线y=x相切的方程；
（2）经过点N的直线交抛物线C于A、B两点，点E在抛物线的准线上，且BE∥y轴．证明：直线AE经过原点O．

Answer 1

分析 （1）由准线的方程可得抛物线的方程，及焦点坐标，由抛物线的定义可得N即为焦点，再由直线和圆相切的条件：d=r，进而得到圆的方程；
（2）由抛物线的焦点坐标，得到经过点N的直线的方程后代入到抛物线中消去y得到关于x的一元二次方程，进而得到两根之积，根据BE∥y轴与点E在准线上可求得E的坐标，进而可表示出直线EO的斜率，同时可得到k也是直线OA的斜率，所以直线AE经过原点O，得证．

解答 解：（1）抛物线C：x²=2px的准线方程y=-$\frac{1}{2}$，
即有p=1，抛物线方程为x²=2y，焦点为（0，$\frac{1}{2}$），
由抛物线定义，可得定点N即为焦点（0，$\frac{1}{2}$），
由直线y=x和圆相切的条件可得，d=r=$\frac{|0-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即有圆的方程为x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{8}$；
（2）证明：如图抛物线x²=2y的焦点为N（0，$\frac{1}{2}$），
所以经过点N的直线的方程可设为y=kx+$\frac{1}{2}$，
代入抛物线方程得x²-2kx-1=0，
若记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是该方程的两个根，
所以x₁x₂=-1．
因为BE∥y轴，且点E在准线y=-$\frac{1}{2}$上，
所以点E的坐标为（x₂，-$\frac{1}{2}$），
故直线OE的斜率为k=-$\frac{1}{2{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$
即k也是直线OA的斜率$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$，
所以直线AE经过原点O．

点评 本小题考查抛物线的定义、方程和性质，直线和圆相切的条件，以及直线的方程和性质，考查运算能力和逻辑推理能力．