分析 (Ⅰ)推导出AF⊥AB,AF⊥AD,从而AF⊥平面ABCD,进而BD⊥AF,又BD⊥AC,由此能证明平面ACF⊥平面BDEG.
(Ⅱ)以O为原点,OB,OC所在直线分别为x轴,y轴,平行于AF所在直线为z轴,建立如图空间直角坐标系,利用向量法能求出直线CG与AE所成角的余弦值.
解答 (本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)∵四边形ABGF,ADEF都是矩形,
∴AF⊥AB,AF⊥AD,(1分)
又AB∩AD=A,且AB、AD?平面ABCD,
∴AF⊥平面ABCD.(2分)
又BD?平面ABCD,∴BD⊥AF.(3分)
又∵AC,BD是菱形ABCD 的对角线,
∴BD⊥AC.(4分)
∵AF,AC?平面ACF,AF∩AC=A,∴BD⊥平面ACF,(5分)
又∵BD?平面BDEG,∴平面ACF⊥平面BDEG.(6分)
解:(Ⅱ)以O为原点,OB,OC所在直线分别为x轴,y轴,
平行于AF所在直线为z轴,建立如图空间直角坐标系.(7分)
∵ABCD是菱形,且∠ABC=120°,AB=2,
∴△BCD是等边三角形,OB=OD=1,$OC=OA=\sqrt{3}$.(8分)
∵AF=3,∴A,C,E,G的坐标分别为:
$A(0,-\sqrt{3},0),C(0,\sqrt{3},0),E(-1,0,3),G(1,0,3)$.(9分)
∴$\overrightarrow{CG}=(1,-\sqrt{3},3),\overrightarrow{AE}=(-1,\sqrt{3},3)$,(10分)
所以$cos<\overrightarrow{CG},\overrightarrow{AE}>=\frac{{\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{AE}}}{{|\overrightarrow{CG}||\overrightarrow{AE}|}}=\frac{-1-3+9}{{\sqrt{13}•\sqrt{13}}}=\frac{5}{13}$,(11分)
即直线CG与AE所成角的余弦值为$\frac{5}{13}$.(12分)
点评 本题考查面面垂直的证明,考查线线角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | ①③ | B. | ①④ | C. | ②④ | D. | ③④ |
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A. | y=ln$\sqrt{1-{x}^{2}}$ | B. | y=3x | C. | y=x2-2x | D. | y=x3 |
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | 2或-$\sqrt{3}$ | C. | $\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$ | D. | 2或-$\sqrt{3}$或-$\frac{7}{4}$ |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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