Question

【题目】已知数列{an}是无穷数列，满足lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…）．
（1）若a1=2，a2=3，求a3 ， a4 ， a5的值；
（2）求证：“数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0”是“数列{an}中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：在数列{an}中ak（k∈N*），使得1≤ak＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，a2=3，lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），

∴lga3=|lg3﹣lg2|= ，即 ；

，即a4=2；

，即 ；

（2）证明：必要性、已知数列{an}中有无数多项是1，则数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0．

∵数列{an}中有无数多项是1，∴数列{an}中存在ak（k∈N*）使得ak=1，

即数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0．

充分性：已知数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0，则数列{an}中有无数多项是1．

假设数列{an}中没有无数多项是1，不妨设 是数列{an}中为1的最后一项，则am+1≠1，

若am+1＞1，则由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得lgam+2=lgam+1，

∴lgam+3=|lgam+2﹣lgam+1|=0，则lgam+3=1，与假设矛盾；

若0＜am+1＜0，则由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得lgam+2=﹣lgam+1，

∴lgam+3=|lgam+2﹣lgam+1|=﹣2lgam+1，

lgam+4=|lgam+3﹣lgam+2|=|﹣2lgam+1+lgam+1|=﹣lgam+1，

lgam+5=|lgam+4﹣lgam+3|=|﹣lgam+1+2lgam+1|=﹣lgam+1，

∴lgam+6=|lgam+5﹣lgam+4|=0，得lgam+6=1，与假设矛盾．

综上，假设不成立，原命题正确；

（3）证明：假设数列{an}中不存在ak（k∈N*），使得1≤ak＜2，

则0＜ak＜1或ak≥2（k=1，2，3，…）．

由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得

（n=1，2，3，…）*，且an＞0（n=1，2，3，…），

∴当n≥2时，an≥1，an≥2（n=3，4，5，…）．

若a4=a3≥2，则a5=1，与a5≥2矛盾；

若a4≠a3≥2，

设bm=max{a2m+1，a2m+2}（m=1，2，3，…），则bm≥2．

由（*）可得， ，

，

∴ ，即 （m=1，2，3，…），

∴ ，

对于b1，显然存在l使得 ．

∴ ，这与bm≥2矛盾．

∴假设不成立，原命题正确

【解析】（1）由a1=2，a2=3，结合lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…）可得a3 ， a4 ， a5的值；（2）分必要性和充分性证明，充分性利用反证法证明；（3）利用反证法，假设数列{an}中不存在ak（k∈N*），使得1≤ak＜2，则0＜ak＜1或ak≥2（k=1，2，3，…）．然后分类推出矛盾得答案．
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．